Triunghiul notiuni generale

Triunghiul – poligonul cu trei laturi.

Clasificare:
– după laturi:
∆ oarecare;
∆ isoscel(două laturi egale);
∆ echilateral(toate laturile egale).

– după unghiuri:
∆ ascuţitunghic(toate unghiurile 90º).

Intr-un triunghi, unui unghi mai mare i se opune o latură mai mare şi reciproc.
Intr-un triunghi, lungimea oricărei laturi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două şi mare decât valoarea absolută a diferenţei lor.
Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180º

Triunghiul isoscel – se numeşte triunghi isoscel triunghiul care are două laturi congruente
Proprietăţile triunghiului isoscel :
– dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilor congruente, sunt congruente şi reciproc
– în orice triunghi isoscel, bisectoarea unghiului din vârf, mediana corespunzătoare bazei, înălţimea corespunzătoare bazei şi mediatoarea bazei coincid

Triunghiul echilateral – se numeşte triunghi echilateral triunghiul care are toate laturile congruente
Proprietăţile triunghiului echilateral :
– unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
– triunghiul cu toate unghiurile congruente este echilateral
– în orice triunghi echilateral bisctoarele unghiurilor coincid cu medianele, mediatoarele şi înălţimile triunghiului

Triunghiul dreptunghic – se numeşte triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept – 90º
– într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi cu măsura de 30º are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei
– în orice triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei

Cazurile de congruenţă pentru triunghiuri dreptunghice :
cazul C.C. – dacă două triunghiuri drepunghice au catetele respectiv congruente, atunci ele sunt congruente
cazul C.U. – dacă două triunghiuri dreptunghice au o catetă şi un unghi ascuţit respectiv congruente, atunci ele sunt congruente
cazul I.U.- dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza şi un unghi(diferit de unghiul drept) respectiv congruente, atunci sunt congruente
cazul I.C. – dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza şi o catetă respectiv congruente, atunci ele sunt congruente

Cazurile de congruenţă ale triunghiurilor
cazul L.U.L: – două triunghiuri oarecare care au două laturi şi unghiul cuprins între ele respectiv congruente, sunt congruente
cazul U.L.U: – două triunghiuri oarecare care au câte o latură şi unghiurile alăturate ei respectiv congruente, sunt congruente
cazul L.L.L: – două triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente, sunt congruente

Asemănarea triunghiurilor – două triunghiuri se numesc asemenea dacă au toate laturile respectiv proporţionale şi unghiurile opuse lor respectiv congruente
Cazurile de asemănare:
– dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea
– dacă două triunghiuri au câte un unghi congruent şi laturile ce-l formează respectiv proporţionale, atunci ele sunt asemenea
– dacă două triunghiuri au cele trei laturi respectiv proporţionale, atunci ele sunt asemenea

Linia mijlocie – segmentul care uneşte mijloacele a două laturi ale unui triunghi senumeşte linie mijlocie
– într-un triunghi segmentul care uneşte mijloacele a două laturi este paralel cu cea de-a treia latură şi are lungimea jumătate din lungimea acesteia
– într-un triunghi ABC, paralela prin mijlocul D al laturii [AB] la latura [BC] conţine mijloul E al laturii [AC] şi avem DE=1/2 BC

Mediana -segmentul care uneşte vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse, punctul de intersecţie al medianelor se află la o treime de bază şi două treimi de vârf, se numeşte centrul de greutate al triunghiului, se notează cu G.

Mediatoarea -perpendiculara pe mijlocul laturii, orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului, punctul de intersecţie al mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului, se notează cu O.

Bisectoarea – dreapta care împarte unghiul în două părţi congruente, orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului, punctul de intersecţie al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris triunghiului, se notează cu I.

Înălţimea – perpendiculara din vârf pe latura opusă, punctul de intersecţie al înălţimilor într-un triunghi se numeşte ortocentru sau centrul drept al triunghiului, se notează cu H.

Perimetrul – suma tuturor laturilor, se notează cu P = a+b+c

Aria – se noteaza cu A.

BC – baza : AD – înălţimea
A=BC*AD/2
FORMULA LUI HERON – p este semiperimetrul, iar a,b,c laturile triunghiului.
p=(a+b+c)/2
A=rad(p(p-a)(p-b)(p-c))