DIVIZIBILITATE.NUMERE PRIME

Definiţie: Un număr natural a este divizibil cu un număr natural b daca exista un număr natural c astfel încât a = b · c.Fie a si b două numere naturale. Spunem că b | a dacă există un număr natural c astfel încât a = b · c.Se mai spune: “a se divide cu b”, “b divide pe a “, “b este divizor al lui a”, “a este multiplu al lui b”.

Proprietăţi ale divizibilităţii numerelor naturale

Orice număr natural este divizibil cu 1 sau 1 | a oricare ar fi a aparţine lui N.0 este divizibil cu orice număr natural sau a | 0, oricare ar fi a aparţine lui N.Orice număr natural se divide cu el însuşi sau a | a, oricare ar fi a aparţine lui N.Fie a si b două numere naturale. Dacă a este divizibil cu b şi b este divizibil cu a atunci a = b sau daca a | b si b | a, oricare ar fi a, b care aparţin lui N.Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă b se divide cu a iar c se divide cu b atunci c se divide cu a sau daca a | b si b | c, atunci a | c, oricare ar fi a,b,c care aparţin lui N.
Dacă un număr natural se divide cu alt număr natural, atunci primul se divide cu toţi divizorii celui de-al doilea.Dacă fiecare termen al unei sume de două numere naturale se divide cu un număr natural, atunci şi suma lor se divide cu acel număr natural.Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m şi dacă un număr natural b se divide cu acelaşi număr natural m, atunci şi suma lor a + b se divide cu m sau daca m | a şi m | b, atunci m | a + b oricare ar fi a, b, m care aparţin lui N.Dacă unul din termenii unei sume de două numere naturale se divide cu un număr natural, iar celălalt termen nu se divide cu acel număr natural, atunci suma nu se divide cu acel număr natural.Fie a, b şi m numere naturale, a mai mare decât b. Dacă a se divide cu m şi b se divide cu m atunci şi a – b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m | a – b oricare ar fi a, b, m care aparţin lui N.Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m, atunci produsul lui a cu orice număr natural se divide cu m, sau dacă m | a, atunci m | a b, oricare ar fi a, b, m care aparţin lui N.

Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 2
Dacă ultima cifra a unui număr natural este o cifră pară (0, 2, 4, 6, 8), atunci acel număr natural se divide cu 2.
Criteriul de divizibilitate cu 3

Dacă suma cifrelor unui număr natural este divizibilă cu 3, atunci acel număr este divizibil cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 4Dacă numărul format din ultimele două cifre ale unui număr natural este divizibil cu 4, atunci numărul dat este divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Dacă ultima cifră a unui număr natural este 5 sau 0, atunci acel număr se divide cu 5. Criteriul de divizibilitate cu 6

Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 şi cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 9Dacă suma cifrelor unui număr natural este divizibilă cu 9, atunci acel număr este divizibil cu 9.
Criteriul de divizibilitate cu 10
Un număr natural a cărui ultimă cifră este zero este divizibil cu 10
Criteriul de divizibilitate cu 25

Dacă numărul format din ultimele două cifre ale unui număr natural este divizibil cu 25, atunci numărul dat este divizibil cu 25.
Criteriul de divizibilitate cu 100Un număr natural la care ultimele două cifre sunt zerouri se divide cu 100.
Divizori proprii şi improprii
Orice număr natural x are divizorii improprii 1şi x. Orice alt divizor se numeste divizor propriu.

Numere prime
Se numeşte prim orice număr natural, diferit de 1, care are ca divizori numai pe 1 şi pe el însuşi.
Se numeste număr prim orice număr natural, diferit de 1, care admite numai divizori improprii.
Orice număr natural care nu este prim se numeşte neprim.
Numerele neprime diferite de 1 se numesc numere compuse.
Următoarele numere sunt prime:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47.

Numere prime între eleDefiniţie: două nr. care au cel mai mare divizor comun 1, se numesc nr. prime între ele.Dacă a şi b sunt prime intre ele, scriem: (a;b)=1Două numere consecutive sunt prime între ele.
Cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comunCel mai mare divizor comun al nr. a şi b este cel mai mare nr. la care se împart exact şi a şi b. Se scrie: c.m.m.d.c al nr. a şi b sau (a;b)Cel mai mic multiplu comun al nr. a şi b este cel mai mic nr. care se împarte exact şi la a şi la b. Se notează : c.m.m.m.c al nr. a şi b sau [a;b]
Pentru a afla c.m.m.d.c. al unor numere, se descompun nr. în factori primi şi se înmulţesc factorii comuni, luaţi o şingură dată, la puterea cea mai mică.
Exemplu:120 = 2 · 3 · 5
132 = 2 · 3 · 11
(120;132) = 2 · 3
Pentru a afla c.m.m.m.c al unor nr. se descompun nr. în factori primi şi se înmulţesc factorii comuni şi necomuni, luaţi o singură dată la puterea cea mai mare.
Ex.:36=2 · 3
200=2 · 5
[36;200]=2 · 3 · 5 =1800