in Formule

Proprietăţi ale numerelor reale

Următoarele tabele prezintă definiţiile proprietăţilor numerelor reale (numite şi axiomele corpului).

 

Adunarea

Înmulţirea

Comutativitatea

Pentru orice nr reale a, b

a + b = b + a

Comutativitatea

Pentru orice nr reale a, b

ab = ba

Asociativitatea

Pentru orice nr reale a, b, c

a + (b + c) = (a + b) + c

Asociativitatea

Pentru orice nr reale a, b, c

(ab)c = a(bc)

Element neutru

Există un număr real, 0, aşa încât pentru orice real a

a + 0 = a

Element neutru

Există un număr real, 1, aşa încât pentru orice real a

a ´ 1 = a

Element opus

Pentru orice real a există un real, notat (-a), aşa încât

a + (-a) = 0

Element invers

Pentru orice real a diferit de 0, există un real, notat , aşa încât

a ´  = 1

Distributivitatea

Pentru orice numere reale a, b, c

a(b + c) = ab + ac, şi (a + b)c = ac + bc

Scăderea şi împărţirea nu au proprietatea de comutativitate şi asociativitate :

a b nu este egal cu b a

a ¸ b nu este egal cu b ¸ a

a – (bc) nu este egal cu (ab) – c

a ¸ (b ¸ c) nu este egal cu (a ¸ b) ¸ c

Încercaţi câteva exemple cu numere pentru a vă convinge de adevărul celor de mai sus.

Proprietăţile de mai sus au o sferă de aplicabilitate remarcabilă în algebră. Deseori în calculele algebrice avem nevoie să rearanjăm termenii pentru a efectua reducerea termenilor asemenea; acest lucru este permis de comutativitatea şi asociativitatea adunării şi/sau înmulţirii. Deoarece scăderea nu mai are aceleaşi proprietăţi, rearanjarea termenilor în acest caz nu mai este direct posibilă. Dar dacă vom privi scăderea ca adunarea cu opusul, adică a-b= a+(-b), atunci vom putea aplica comutativitatea adunării şi vom obţine a-b=-b+a.

Să mai observăm că asociativitatea şi comutativitatea sunt scrise în acelaşi mod şi pentru adunare şi pentru înmulţire, singura deosebire fiind semnul grafic pentru operaţie. Ceea ce defineşte foarte clar locul fiecărei operaţii în corpul numerelor reale este legea de distributivitate, care precizează că înmulţirea este distributivă faţă de adunare dar nu şi invers.

Exemplu: 2(3 + 4)

Aplicând ordinea efectuării operaţiilor, vom face calculul din paranteză şi apoi înmulţirea, găsind:

2(3 + 4) = 2(7) = 14

Dar putem aplica distributivitatea inmulţirii faţă de adunare, şi ar trebui să obţinem acelaşi număr.

 

Voteaza acest articol

Add a Comment

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *